线性代数总结

注
- 结合两位李老师线代辅导讲义整理而成
- @例题 @💡 @错题（可自己添加错题）
一、行列式
- 1、概念及性质
  - 行列式
    
    定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项）
    
    逆序数：一个排列中逆序的总数
    
    性质
    
    行列式性质：
    
    ①提公因式；
    
    ②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，丨A丨=0）；
    
    ③拆分；
    
    ④倍加
    
    方阵行列式性质（运算公式）：
    
    ※注意：①行列式性质≠矩阵初等变换；②行列式性质≠矩阵运算
  - 余子式
    
    定义：Mij
  - 代数余子式
    
    定义：
    
    展开公式
    
    丨A丨=按第i行展开=按第j列展开
    
    某行（列）元素×其他行（列）元素的代数余子式=0
    
    Aij的值与aij的取值无关
- 2、主要公式
  - 上（下）三角行列式
  - 关于副对角线的行列式
  - 拉普拉斯展开式
  - 范德蒙行列式
  - △特征多项式→求特征值
  - 克拉默法则
    
    计算方程组的解
    
    系数行列式D≠0（即丨A丨≠0）
    
    推论1：齐次线性方程组D≠0，则方程组只有零解
    
    推论2：齐次线性方程组有非零解，则丨A丨=0
- 3、题型总结
  - 行列式的计算
    
    数字型行列式
    
    步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质
    
    方法：行（列）加法、加边法、分块法、拆项法、递推法
    
    特殊行列式归纳
    
    爪形行列式：
    
    一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形；
    
    考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换
    
    三对角线行列式
    
    一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0
    
    低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加
    
    高阶：数学归纳法递推——①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法
    
    抽象性行列式
    
    丨A+B丨型的计算
    
    给出A=α，β，γ； B=δ，ε，η→把A+B表示出来，用行列式性质
    
    完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件
    
    丨A丨型计算
    
    遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算
    
    遇到α1，α2，α3是线性无关向量且给有Aα1，Aα2，Aα3：①行列式性质②利用相似“A~B，则丨A丨=丨B丨”
    
    利用特征值
    
    例题
    
    三对角线行列式 @例题
    
    @💡
    
    加边法求行列式 @例题
    
    @💡
    
    抽象行列式 @例题
    
    @💡 行列式性质拆分、加加减减；相似；由已知条件观察A的伴随、A的转置、A的逆、A之间的关系。
  - 证明丨A丨=0
    
    常用方法
    
    Ax=0有非零解：将已知条件化为Ax=0形式，利用克拉默法则中“齐次方程有非零解，则丨A丨=0”
    
    反证法：假设丨A丨≠0，则A可逆，用A^(-1)找矛盾
    
    秩：利用秩相关公式找r(A)＜n
    
    0是A的特征值：利用丨A丨=∏λi
    
    丨A丨=—丨A丨
    
    例题
    
    一题多解 @例题
    
    @💡 还有可以用特征值；注意错解：A不等于E不能推出A的行列式不等于1
  - 代数余子式求和
    
    方法：构造新的行列式
  - 行列式应用
    
    丨A丨=0可互推出：①A不可逆；②r(A)＜n；③Ax=0有非零解；④A中的列向量组线性相关；⑤特征值中至少一个为0
    
    丨A丨≠0可互推出：①A可逆；②r(A)=n；③Ax=0只有0解；④A中的列向量组线无关；⑤特征值都不为0
    
    对称矩阵的顺序主子式全大于0可推出：矩阵正定
    
    A+kE不可逆→丨A+kE丨=0→可算出A的一个特征值
二、矩阵
- 1、概念，特殊矩阵及运算
  - 矩阵的定义
  - 特殊矩阵
    
    单位矩阵
    
    转置矩阵
    
    行列互换
    
    转置相关公式
    
    对称矩阵
    
    对称矩阵：A的转置=A
    
    反对称矩阵：A的转置=-A
    
    正交矩阵
    
    定义
    
    性质
    
    正交矩阵任一列向量均为单位向量
    
    任两列向量互相垂直
    
    初等矩阵
    
    三种初等矩阵都是可逆矩阵
    
    定义：单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵
    
    乘法：左行右列
    
    初等矩阵逆矩阵
    
    初等矩阵的行列式
    
    初等矩阵的n次方
    
    分块矩阵
    
    公式
    
    行阶梯型矩阵
    
    行最简形矩阵
  - 矩阵运算
    
    加法
    
    同型叠加
    
    乘法
    
    列向量α，β乘积的关系
    
    列在前，行在后---nxn矩阵，秩为1，特征值：一个为迹，其余为0
    
    行前列后，为一个数。若β=α，则为平方和大于等于0.
    
    α的转置•β为矩阵α•β的转置的迹
- 2、重要定理
  - 必备定理
- 3、伴随矩阵
  - 伴随矩阵定义（注意行列位置互换）
    
    2阶矩阵伴随：主对调，副变号
  - 公式
  - 伴随矩阵的秩
    
    伴随矩阵A*是由A的n-1阶行列式拼凑而成
- 4、可逆矩阵
  - 公式
  - 求逆矩阵方法
    
    定义法
    
    利用AB=BA=E
    
    初等行变换
    
    利用伴随矩阵
    
    分块
    
    分解求逆：利用因式分解及可逆定义求逆矩阵
- 5、矩阵的秩
  - 公式
  - 对秩的理解（两个条件）
- 6、题型总结
  - （1）特殊矩阵的n次方
    
    @💡 r（A）=1的矩阵 @例题
    
    矩阵n次方有规律 @例题
    
    @💡 对于这种有规律性的矩阵，可尝试先求出2次方，3次方，寻找规律。
    
    @💡 提出单位矩阵，化为有规律矩阵
    
    利用相似矩阵 @例题
    
    @💡
    
    可分块矩阵的n次方 @例题
  - （2）伴随矩阵
    
    @例题
    
    @💡
  - （3）可逆矩阵
    
    利用E恒等变形化和为积 @例题
    
    求矩阵的可逆矩阵，可设出逆矩阵
  - （4）矩阵的秩
    
    @例题
  - （5）初等矩阵
  - （6）正交矩阵
    
    @例题用E恒等变形
    
    @💡
  - （7）矩阵方程
    
    矩阵可逆
    
    矩阵不可逆，化为解方程组
    
    @例题
三、向量
- 1、向量及其运算
  - 定义
    
    n维列向量（行向量）：n个数组成的有序数组
  - 运算
    
    向量加法
    
    数乘向量
    
    向量内积
  - 性质
- 2、向量组的线性相关性与线性表示
  - 线性相关
    
    定义
    
    等价说法
    
    判别线性相关常用方法
  - 线性无关
    
    定义
    
    等价说法
    
    判别线性无关常用方法
    
    定义法
    
    说明
    
    秩或行列式
    
    反证法
  - 线性表示
    
    定义
    
    等价说法
    
    秩判别线性表示
    
    说明
  - 极大线性无关组与向量等价
    
    极大线性无关组
    
    说明
    
    向量组等价
  - 常用结论
    
    线性无关向量组缩小仍无关，线性相关向量组扩大仍相关。（齐次方程组中未知数增加与减少）
    
    线性无关组分量增加仍无关，线性相关组分量减少仍相关。（齐次方程组中方程个数增加与减少）
    
    若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。
    
    以多表少，则多的相关。
    
    两向量组可相互线性表示即等价，则秩相等。
    
    若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，则Ⅰ与Ⅱ等价。
- 3、向量空间
  - 概念
    
    n维向量空间定义：向量集合对于加法乘法封闭
    
    基
    
    坐标
    
    过渡矩阵
  - 坐标公式
    
    【】
  - 标准正交基
    
    【】
- 4、题型总结
  - 线性相关
    
    @💡 方法
    
    @例题定义法，同乘
    
    @例题同乘，再加加减减
    
    注（另解）
  - 线性表出
    
    @💡 方法
四、线性方程组
- 1、表达形式
  - 分类
    
    齐次方程组Ax=0
    
    非齐次方程组Ax=b
  - 矩阵形式：Ax=b
  - 向量形式
- 2、线性方程组的解
  - 齐次线性方程组性质
  - 基础解系
    
    向量组为Ax=0的解
    
    向量组为极大线性无关组
  - Ax=0通解
  - Ax=b通解：齐次通解+任意非齐次特解
  - 线性方程组解的性质
- 3、基本理论（讨论三大问题）
  - 是否有解？
  - 若有解，是否唯一？
  - 有解且不唯一，如何求解？
    
    求Ax=0
    
    若r(A)<n时，无穷解（即有非零解）
    
    求基础解系
    
    化阶梯形（行最简或单位阵，或直接求解）
    
    确定n-r(A)个自由变量
    
    “写”基础解系
    
    求Ax=b
    
    求齐次通解，非齐次一个特解，写通解
- 4、主要定理
- 5、题型总结
  - 基础解系 @例题
    
    学习快速写出基础解系 @💡
  - 解方程组Ax=b
    
    给方程组⇨消元求解
    
    无方程组⇨分析秩
    
    @例题
    
    @💡 分析解的结构，再利用解的性质加加减减找出基础解系及特解
  - 方程组解的判别
    
    @例题
  - 公共解、同解
    
    公共解
    
    给出两方程组⇨联立求解
    
    未给出方程组
    
    同解：代入法
五、特征值与特征向量
- 特征值与特征向量
  - 定义
    
    特征值、特征向量
    
    特征多项式
  - 求特征值、特征向量
  - 性质
    
    特征值性质
    
    特征向量性质
  - 常用结论
- 矩阵相似
  - 定义
  - 相似于对角形
    
    定义
    
    相似于对角矩阵的条件
    
    相似对角化步骤
  - 性质
- 实对称矩阵
  - 定义
  - 性质
    
    必相似于对角矩阵
    
    可用正交矩阵对角化
    
    不同特征值的特征向量相互正交
    
    特征值必为实数
  - 实对称矩阵用正交矩阵对角化步骤
- 求参问题
  - 确定参数
  - 相似的必要条件
- 题型总结
  - 特征值、特征向量
    
    @💡
    
    @例题
    
    @💡
  - 相似
    
    判断相似
    
    @例题
    
    @💡
    
    @例题
    
    @💡
    
    利用r(A)=1
    
    @例题
    
    抽象矩阵相似
  - 实对称
    
    【待补充】
  - 求参问题
    
    @例题
六、二次型
- 概念及标准型
  - 基本概念
    
    二次型
    
    标准形
    
    二次型只含有平方项
    
    规范形
    
    在标准形中，平方项系数为-1，1或0。
    
    坐标变换与标准化
    
    惯性指数
    
    标准形中，正平方项个数为正惯性指数p；负平方项个数为负惯性指数q。
    
    惯性定理
    
    二次型经可逆坐标变换后，正、负惯性指数保持不变，且p+q=r(f)=r(A)
    
    矩阵合同
  - 二次型化标准型的方法
    
    配方法
    
    通过配方法将二次型化为完全平方形式，再作坐标变换。“一次配一个字母”
    
    正交变换
- 正定
  - 概念
  - 判别
- 矩阵等价、相似、合同补充
  - 等价
  - 相似
  - 合同
- 题型总结
  - 化标准形，求二次型
    
    @例题
  - 证正定
    
    @💡 关于正定性证明思路
    
    用特征值
    
    用与E合同
    
    用定义，坐标变换
    
    用已知的正定矩阵合同
    
    @例题
    
    @💡
    
    @例题

以上内容整理于幕布文档