线性代数总结
注
结合两位李老师线代辅导讲义整理而成
@例题
@💡
@错题
(可自己添加错题)
一、行列式
1、概念及性质
行列式
定义:不同行不同列元素乘积的代数和(完全展开式)(共n!项)
逆序数:一个排列中逆序的总数
性质
行列式性质:
①提公因式;
②两行互换,行列式变号(两行相等、两行成比例,丨A丨=0);
③拆分;
④倍加
方阵行列式性质(运算公式):
※注意:①行列式性质≠矩阵初等变换;②行列式性质≠矩阵运算
余子式
定义:Mij
代数余子式
定义:
展开公式
丨A丨=按第i行展开=按第j列展开
某行(列)元素×其他行(列)元素的代数余子式=0
Aij的值与aij的取值无关
2、主要公式
上(下)三角行列式
关于副对角线的行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙行列式
△特征多项式→求特征值
克拉默法则
计算方程组的解
系数行列式D≠0(即丨A丨≠0)
推论1:
齐次线性
方程组D≠0,则方程组只有零解
推论2:
齐次线性
方程组有非零解,则丨A丨=0
3、题型总结
行列式的计算
数字型行列式
步骤:①观察行列式特征;②利用展开公式或行列式性质
方法:行(列)加法、
加边法
、分块法、拆项法、递推法
特殊行列式归纳
爪形行列式:
一般思路:利用对角线元素把行或者列消去,变为上/下三角形;
考题中一般不会给明显爪形,需要先进行恒等变换
三对角线行列式
一般思路:把对角线两边的某一对角线化为0
低阶:①每一行加到第一行;②逐行相加
高阶:数学归纳法递推——①把A展开,看A与几个低阶有关②与一个低阶有关,选择第一数学归纳法;与两个或两个以上低阶有关,选择第二数学归纳法
抽象性行列式
丨A+B丨型的计算
给出A=α,β,γ; B=δ,ε,η→把A+B表示出来,用行列式性质
完全抽象:利用E把A+B恒等变形,根据矩阵行列式性质化为已知条件
丨A丨型计算
遇到A的伴随、转置或逆矩阵等,先利用矩阵性质化为A后,再计算
遇到α1,α2,α3是线性无关向量且给有Aα1,Aα2,Aα3:①行列式性质②利用相似“A~B,则丨A丨=丨B丨”
利用特征值
例题
三对角线行列式
@例题
@💡
加边法求行列式
@例题
@💡
抽象行列式
@例题
@💡
行列式性质拆分、加加减减;相似;由已知条件观察A的伴随、A的转置、A的逆、A之间的关系。
证明丨A丨=0
常用方法
Ax=0有非零解:将已知条件化为Ax=0形式,利用克拉默法则中“齐次方程有非零解,则丨A丨=0”
反证法:假设丨A丨≠0,则A可逆,用A^(-1)找矛盾
秩:利用秩相关公式找r(A)<n
0是A的特征值:利用丨A丨=∏λi
丨A丨=—丨A丨
例题
一题多解
@例题
@💡
还有可以用特征值;
注意错解:A不等于E不能推出A的行列式不等于1
代数余子式求和
方法:构造新的行列式
行列式应用
丨A丨=0可互推出:①A不可逆;②r(A)<n;③Ax=0有非零解;④A中的列向量组线性相关;⑤特征值中至少一个为0
丨A丨≠0可互推出:①A可逆;②r(A)=n;③Ax=0只有0解;④A中的列向量组线无关;⑤特征值都不为0
对称矩阵的顺序主子式全大于0可推出:矩阵正定
A+kE不可逆→丨A+kE丨=0→可算出A的一个特征值
二、矩阵
1、概念,特殊矩阵及运算
矩阵的定义
特殊矩阵
单位矩阵
转置矩阵
行列互换
转置相关公式
对称矩阵
对称矩阵:A的转置=A
反对称矩阵:A的转置=-A
正交矩阵
定义
性质
正交矩阵任一列向量均为单位向量
任两列向量互相垂直
初等矩阵
三种初等矩阵都是可逆矩阵
定义:单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵
乘法:左行右列
初等矩阵逆矩阵
初等矩阵的行列式
初等矩阵的n次方
分块矩阵
公式
行阶梯型矩阵
行最简形矩阵
矩阵运算
加法
同型叠加
乘法
列向量α,β乘积的关系
列在前,行在后---nxn矩阵,秩为1,特征值:一个为迹,其余为0
行前列后,为一个数。若β=α,则为平方和大于等于0.
α的转置•β为矩阵α•β的转置的迹
2、重要定理
必备定理
3、伴随矩阵
伴随矩阵定义(注意行列位置互换)
2阶矩阵伴随:
主对调,副变号
公式
伴随矩阵的秩
伴随矩阵A*是由
A的n-1阶行列式
拼凑而成
4、可逆矩阵
公式
求逆矩阵方法
定义法
利用AB=BA=E
初等行变换
利用伴随矩阵
分块
分解求逆:利用因式分解及可逆定义求逆矩阵
5、矩阵的秩
公式
对秩的理解(两个条件)
6、题型总结
(1)特殊矩阵的n次方
@💡
r(A)=1的矩阵
@例题
矩阵n次方有规律
@例题
@💡
对于这种有规律性的矩阵,可尝试先求出2次方,3次方,寻找规律。
@💡
提出单位矩阵,化为有规律矩阵
利用相似矩阵
@例题
@💡
可分块矩阵的n次方
@例题
(2)伴随矩阵
@例题
@💡
(3)可逆矩阵
利用E恒等变形化和为积
@例题
求矩阵的可逆矩阵,可设出逆矩阵
(4)矩阵的秩
@例题
(5)初等矩阵
(6)正交矩阵
@例题
用E恒等变形
@💡
(7)矩阵方程
矩阵可逆
矩阵不可逆,化为解方程组
@例题
三、向量
1、向量及其运算
定义
n维列向量(行向量):n个数组成的有序数组
运算
向量加法
数乘向量
向量内积
性质
2、向量组的线性相关性与线性表示
线性相关
定义
等价说法
判别线性相关常用方法
线性无关
定义
等价说法
判别线性无关常用方法
定义法
说明
秩或行列式
反证法
线性表示
定义
等价说法
秩判别线性表示
说明
极大线性无关组与向量等价
极大线性无关组
说明
向量组等价
常用结论
线性无关向量组缩小仍无关,线性相关向量组扩大仍相关。(齐次方程组中
未知数
增加与减少)
线性无关组分量增加仍无关,线性相关组分量减少仍相关。(齐次方程组中
方程
个数增加与减少)
若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。
以多表少,则多的相关。
两向量组可相互线性表示即
等价
,则秩相等。
若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ),则Ⅰ与Ⅱ等价。
3、向量空间
概念
n维向量空间定义:向量集合对于加法乘法封闭
基
坐标
过渡矩阵
坐标公式
【】
标准正交基
【】
4、题型总结
线性相关
@💡
方法
@例题
定义法,同乘
@例题
同乘,再加加减减
注(另解)
线性表出
@💡
方法
四、线性方程组
1、表达形式
分类
齐次方程组
Ax=0
非齐次方程组
Ax=b
矩阵形式:
Ax=b
向量形式
2、线性方程组的解
齐次线性方程组性质
基础解系
向量组为
Ax=0
的解
向量组为极大线性无关组
Ax=0
通解
Ax=b
通解:齐次通解+任意非齐次特解
线性方程组解的性质
3、基本理论(讨论三大问题)
是否有解?
若有解,是否唯一?
有解且不唯一,如何求解?
求
Ax=0
若r(A)<n时,无穷解(即有非零解)
求基础解系
化阶梯形(行最简或单位阵,或直接求解)
确定n-r(A)个自由变量
“写”基础解系
求
Ax=b
求齐次通解,非齐次一个特解,写通解
4、主要定理
5、题型总结
基础解系
@例题
学习快速写出基础解系
@💡
解方程组
Ax=b
给方程组
⇨
消元求解
无方程组
⇨
分析秩
@例题
@💡
分析解的结构,再利用解的性质加加减减找出基础解系及特解
方程组解的判别
@例题
公共解、同解
公共解
给出两方程组⇨联立求解
未给出方程组
同解:代入法
五、特征值与特征向量
特征值与特征向量
定义
特征值、特征向量
特征多项式
求特征值、特征向量
性质
特征值性质
特征向量性质
常用结论
矩阵相似
定义
相似于对角形
定义
相似于对角矩阵的条件
相似对角化步骤
性质
实对称矩阵
定义
性质
必相似于对角矩阵
可用正交矩阵对角化
不同特征值的特征向量相互正交
特征值必为实数
实对称矩阵用正交矩阵对角化步骤
求参问题
确定参数
相似的必要条件
题型总结
特征值、特征向量
@💡
@例题
@💡
相似
判断相似
@例题
@💡
@例题
@💡
利用
r(A)=1
@例题
抽象矩阵相似
实对称
【待补充】
求参问题
@例题
六、二次型
概念及标准型
基本概念
二次型
标准形
二次型只含有平方项
规范形
在标准形中,平方项系数为-1,1或0。
坐标变换与标准化
惯性指数
标准形中,正平方项个数为正惯性指数p;负平方项个数为负惯性指数q。
惯性定理
二次型经可逆坐标变换后,正、负惯性指数保持不变,且p+q=r(f)=r(A)
矩阵合同
二次型化标准型的方法
配方法
通过配方法将二次型化为完全平方形式,再作坐标变换。“一次配一个字母”
正交变换
正定
概念
判别
矩阵等价、相似、合同补充
等价
相似
合同
题型总结
化标准形,求二次型
@例题
证正定
@💡
关于正定性证明思路
用特征值
用与E合同
用定义,坐标变换
用已知的正定矩阵合同
@例题
@💡
@例题
以上内容整理于
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